トトガノート

「鍼灸治療室.トガシ」と「公文式小林教室」と「その他もろもろ」の情報を載せています。

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音楽と数学の交差」という本で、ピタゴラス音律と平均律の関係を初めて知りました。私は、音楽は大の苦手なのですが、数学の方から音楽に入ったら、かなりのめり込んだんじゃないか?と思いました。

今回はピタゴラス音律。2:3の周波数比の音が最も協和するということを基本に周波数が決められています。

最初の「ド」の周波数を1としますと、その1.5倍の周波数を「ソ」とします。
「ソ」=1.5 を1.5倍すると2.25で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.125を「レ」とします。
「レ」=1.125 を1.5倍します。1.6875を「ラ」とします。
「ラ」=1.6875 を1.5倍すると2.53125で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.265625を「ミ」とします。
「ミ」=1.265625 を1.5倍します。1.8984375を「シ」とします。
「シ」=1.8984375 を1.5倍すると2.84765625で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.423828125を「ファ#」とします。
「ファ#」=1.423828125 を1.5倍すると2.1357421875で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.06787109375を「ド#」とします。
「ド#」=1.06787109375 を1.5倍します。1.60180664062を「ソ#」とします。
「ソ#」=1.60180664062 を1.5倍すると2.40270996093で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.20135498046を「レ#」とします。
「レ#」=1.20135498046 を1.5倍します。1.80203247069を「ラ#」とします。
「ラ#」=1.80203247069 を1.5倍すると2.70304870603で2を超えてしまうので1オクターブ下げるために2で割ります。1.35152435301を「ファ」とします。
「ファ」=1.35152435301 を1.5倍します。2.02728652951を1オクターブ上の「ド」とします。

上は、私の電卓に出てきた数字を全部書きました。適当なところで丸めた数字が本書に載っていますので、まとめてみると、
ド:1.000
ド#:1.068
レ:1.125
レ#:1.201
ミ:1.266
ファ:1.352
ファ#:1.424
ソ:1.5
ソ#:1.602
ラ:1.688
ラ#:1.802
シ:1.898
ド:2.027

残念ながら、1オクターブ上の「ド」はちょうど2倍にはならず端数が出てしまいます。この「0.027…」が「ピタゴラス・コンマ」と呼ばれるものです。

さて、「ラ」=880Hzとして、各周波数をエクセルで計算してみました。
ド:521.4815
ド#:556.8750
レ:586.6667
レ#:626.4844
ミ:660.0000
ファ:704.7949
ファ#:742.5000
ソ:782.2222
ソ#:835.3125
ラ:880.0000
ラ#:939.7266
シ:990.0000
ド:1057.1924

これを元にWaveGeneratorで各周波数の音を作ってみました。13の音を連続して聴いてみると…

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音楽と数学の交差」という本で、ピタゴラス音律と平均律の関係を初めて知りました。私は、音楽は大の苦手なのですが、数学の方から音楽に入ったら、かなりのめり込んだんじゃないか?と思いました。

まず、平均律から。平均律は、ウェーバー・フェヒナーの法則(感覚値と実測値の関係は対数関数で表すことができる)に従い、ドレミファソラシドの周波数間隔を定義したものです。

最初の「ド」の周波数を1としますと、次の「ド#」は2の12分の1乗を掛けた数値で約1.059です。
次の「レ」の周波数は、「ド#」に2の12分の1乗を掛けた数値で約1.122です。

まとめてみると、
ド:1.000
ド#:1.059
レ:1.122
レ#:1.189
ミ:1.260
ファ:1.335
ファ#:1.414
ソ:1.498
ソ#:1.584
ラ:1.682
ラ#:1.782
シ:1.889
ド:2.000

「#」が付いているのはピアノで言うところの黒い鍵盤ですね。「半音上」とか言いますが、全て「2の12分の1乗」倍ずつ等倍で離れています。

「ファ#」は「ド」に「2の12分の1乗」を6回掛けていますから、「2の12分の6乗」=「2の2分の1乗」=「ルート2」=「ひとよひとよにひとみごろ」です。

2回目の「ド」は最初の「ド」に「2の12分の1乗」を12回掛けていますから、「2の12分の12乗」=「2の1乗」=2です。1オクターブ上の「ド」は、ちゃんと最初の「ド」の2倍の周波数になっています。

さて、世界的な基準として、「ラ」が440Hzと定められているようです。その1オクターブ上の880Hzの「ラ」を中心にして、各周波数を計算してみました。
ド:523.2511
ド#:554.3653
レ:587.3295
レ#:622.2540
ミ:659.2551
ファ:698.4565
ファ#:739.9888
ソ:783.9909
ソ#:830.6094
ラ:880.0000
ラ#:932.3275
シ:987.7666
ド:1046.5023

これを元にWaveGeneratorで、下の要領で各周波数の音を作ってみました。小数点以下4位までなんて有効かどうかは分かりませんが、入れるだけ入れてみました。

例えば「ド」の場合。


例えば「ド#」の場合。


こうやって作った13の音を連続して聴いてみると…

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Excelではじめるディジタル信号処理を試しています。第4章の内容です。

エクセルで求めた周波数特性の通りになっているかを、Spectrum Analyzerで確認しました。

エクセルのグラフの通りに、スペクトラムのピークが上下するのが分かります。

Spectrum Analyzer で分析(2)(p108)

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Excelではじめるディジタル信号処理を試しています。第4章の内容です。

前回はWaveGeneratorでしたが、今回はSpectrum Analyzerです。

WaveGeneratorで周波数が次第に高くなっていく音声データを作りました。そうなっていることをSpectrum Analyzerで確認しています。

Spectrum Analyzer で分析(1)(p108)







Spectrum Analyzer で分析(2)(p108)

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Excelではじめるディジタル信号処理を試しています。第4章の内容です。

前回まではエクセルファイルでしたので、動くのは当たり前でした。

今回は、CDで添付されているWaveGeneratorで正弦波を発生(p105)させました。実行ファイルだったので、Win98用の実行ファイルがWin8.1でまともに動くのかドキドキでしたが、あっさりパスしました。

これで道が開けました。


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Excelではじめるディジタル信号処理を試しています。第4章の内容です。

前回、正弦波どうし時間をずらして加算した波形をエクセルでグラフ表示しました

波形は横軸が時間軸になりますが、横軸を周波数にすることによって周波数特性を見ることができます。

正弦波どうし時間をずらして加算した波形の周波数特性(p98)

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20世紀の終わりに出たこの本、Excelではじめるディジタル信号処理。ずっと読みたいと思いつつ、14年も経ってしまいました。表紙に「Windows98対応!」とあります。Meよりも前です。CDで添付のツールがWindows8.1で動くかどうか、試してみました。

エクセルやツールを使うのは第4章からです。

正弦波どうし時間をずらして加算した波形(p93)

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学校ネットの小学生手書き漢字ドリルというアプリを使ってみました。

漢字検定対策で使いたかったのですが、小学3年生レベルのが無かったので、こちらを使うことにしました。

漢検用のアプリもそうですが、棒が一本足りなかったりしてもOKになる場合があるので問題もあるのですが、楽しんでやっております。↓


こちらは学校ネットさんで作成した動画↓

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日本英語検定協会が提供している『スタディギア for EIKEN』。ブラウザ上で実行するので、パソコンはもちろん、タブレットからでもできます。

現在の実力診断を行い、受検日までのスケジュールも立ててくれます。受検を申し込んでいると無料で使うことができます。

長女は受験日一週間前から「おいそぎモード」で始めました。“Do not eat too much”という文が出てきまして、「ミホのことだ」とつぶやいてました。理解力は十分?




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