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今回は、宮城県で出題された、立体(多面体)の問題を見てみます。
(1)
 これは四角柱と呼んでいますが、立体の中では最もおなじみの、直方体(しかも立方体のようですね)の展開図ですので、自分で確かめてみて下さい。答えは「あ」と「い」です。この展開図は山折りにするんだろうか、谷折りにするんだろうか…と迷った人はいませんか?でも、だいじょうぶ。どちらでも同じ答えになるはずです。
(2)
「底面の辺の数」は、三角柱ならば底面は三角形なので3本、四角柱ならば四角形なので4本、五角柱ならば5本、六角柱ならば6本。表3を見ると、三角柱→四角柱→五角柱→六角柱と1本増えるごとに、立体の辺の数は。核棔頂点の数は■恩帖¬未凌瑤廊1個、それぞれ増えています。

次に、角柱以外の多面体の問題になるのですが、ここで気をつけなければいけないことがあります。表4のカの「きまり」は角柱にしか当てはまらないということ。一方、表4のキの「きまり」は「オイラーの多面体定理」と呼ばれるもので、角柱を含めた多面体すべてに当てはまります。

(3)
 正五角形12個と正六角形20個で囲まれた32面体に、空気を入れて膨らませたのがサッカーボールです。立体の1つの頂点には正五角形の1つの頂点がくっついていますから、正五角形の頂点の総数と、立体の頂点の数は同じになるはず。5×12=60で、60個。
これは正六角形から求めることもできます。立体の1つの頂点には正六角形の2つの頂点がくっついていますから、正六角形の頂点の総数の半分が、立体の頂点の数と同じになるはず。6×20÷2=60で、やはり60個。
面の数32、頂点の数60を「オイラーの多面体定理」に当てはめてみると、公式を満たす辺の数は90本。




(4)
この問題では、立体の辺の数と頂点の数だけでなく、面の数もわかりません。
まず、1番目の特徴から、「オイラーの多面体定理」を使って解きなさい!と言っていることがわかります。
 2番目の特徴から、正三角形の頂点の総数の半分と、正方形の頂点の総数の半分と、立体の頂点の数は同じであることがわかります。説明の便宜上、文字式で表します。正三角形がm個、正方形がn個、立体の頂点の数をX個とした時、
3m/2=4n/2=X
変形して、3m=4n=2X ……
 3番目の特徴から、正三角形の辺の総数と、正方形の辺の総数と、立体の辺の数が同じであることがわかります。立体の辺の数をY本とした時、
3m=4n=Y ……
 ´△茲
3m=4n=2X=Y ……

それぞれの文字には自然数しか入りませんから、m:n = 4:3 となる数字を片っ端から入れてみましょう。
 多面体の面の数は (m+n) になりますから、オイラーの多面体定理は、
X+(m+n)-Y=2となります。
m n X Y X+(m+n)-Y=2
4 3 6 12 6+(4+3)-12=1
8 6 12 24 12+(8+6)-24=2

答えは、2つ目で見つかります。求める立体は、正三角形が8個、正方形が6個の14面体です。図7には既に、正三角形が5個、正方形が4個ありますから、正三角形3個、正方形2個を新たに書き足す必要があります。このとき2番目と3番目の特徴を守らなければなりませんが、答えは何通りかあると思います。その一例を示します。


華子さんが主人公になっていますから、宮城県仙台ニ華中学校で作成した問題のようです。昨年11月の説明会で県の担当者が「宮城県のニ華は良い学校です」とおっしゃっていましたので、マークしておいた方がいいと思います。
多面体に関する同様の問題が、同じ年に東京都立小石川中等教育学校でも出題されています。




参考文献:2014年度受検用公立中高一貫校適性検査問題集(みくに出版)小林教室収蔵

《教室だより増刊号インデックス》

※今後、大学入試や高校入試で一般的になると思われる合科目型・総合型の出題形式が公立中高一貫校適性検査では既に一般的になっているため、この増刊号で取り上げています。ですから、中高一貫校だけを特に意識しているわけではありません。もちろん、だからと言って東桜学館を全く意識していないわけでもありません(笑)。

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